DM pour le 13/11

Ok, pour les désespérés, voici la question 1)b

2005=222*9+7
7=0*9+7

Donc 2005 = 7 [9]


Donc (2005)^2005 = (7)^2005 [9] et comme 2005 = 3*668+1 (voir question 1a), le reste de la division euclidienne de (7)^2005 par 9 vaut 7 d'où

2005^2005 = 7 [9]

CQFD

Voilà les réponses pour les gros glandeurs

1
a.

7 7 [9] (évident !)
72 49 [9] donc 72 4 [9]
73 47 [9] donc 73 28 [9] d'où 73 1 [9].
A partir de là, on a fini! 74 7 [9] , 75 4 [9] , 76 1 [9] ..
On remarque que si n = 3q + r alors 7n = (73)q7r. D'où: 7n (73)q7r [9].
Comme 73 1 [9] ; on a alors : 7n 7r [9].
Donc:
n = 3q 7n 1 [9] , dans ce cas, le reste de la division est 1
n = 3q + 1 7n 7 [9] , dans ce cas, le reste de la division est 7
n = 3q + 2 7n 4 [9], dans ce cas, le reste de la division est 4.

b.
2005 = 2103 + 5 et 10 1 [9] donc 2005 2 + 5 [9], c'est à dire , 2005 7 [9].
Donc, 20052005 72005 [9], d'où , d'après la question précédente , comme 2005 1 [3] (2005 = 3668 + 1),
20052005 71 [9] , d'où 20052005 7 [9].

2

a.
Comme 10 1 [9] , on a : n , (10)n 1 [9].
b.
L'écriture de N en base est : avec k {0 ; 1 ; ... ; n} , ak {0 ; 1 ; ... ; 9}.
Comme pour tout k entier naturel, on a : 10k 1 [9], on en déduit que: .
C'est à dire : N S [9].

c
N est divisible par 9 si et seulement si N 0 [9].
Donc, d'après la question précédente, N est divisible par 9 si et seulement si S 0 [9].
C'est à dire, N divisible par 9 si et seulement si S divisible par 9.

3

a.
D'après la question 2.a., on peut dire que A B [9] , B C [9] et C D [9].
Donc, A D [9].

b.
2005 < 10 000 , ou encore , 2005 < 104. D'où A < 108020.
108020 s'écrit en base 10, avec exactement 8021 chiffres et c'est le plus petit entier s'écrivant avec 8021 chiffres, donc A s'écrit avec au plus 8020 chiffres en base 10.
En base 10, le chiffre le plus grand utilisable est 9. La somme des chiffers de A, en base 10, est donc inférieure à 9(Nombre de Chiffres de A).
D'où, d'après la question précédente, Somme des Chiffres de A 99.
Ou encore ... B 72 180.

c.
Comme B 72 180 , on peut dire que B s'écrit avec au plus 5 chiffres en base 10.
Donc, la somme des chiffers de B est inférieures à 95 , d'où .... C 45.

d.
On sait (Voir quetsion 1.b) que A 7 [9]. Donc, comme A C [9] (Voir détail de la réponse de la question 3.a.),
on a aussi C 7 [9].
Comme de plus C 45, les seules possibles de C sont donc: 7 , 16 , 25 , 34 , 43.
Dans tous les cas, la sommes des chiffres des valeurs possibles est 7.
Donc, D = 7 ....

e .... Question faite directement ....

C'est bien, je vous remercie.

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